Motivo

En este apartado se expone el método de Gauss como técnica para resolver sistemas de ecuaciones con varias incógnitas. Este método será útil por ejemplo a la hora de resolver circuitos eléctricos mediante el método de Kirchhoff o el método de Maxwell.

 

Fundamentos teóricos

En primer lugar se obtiene el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y se ordena tal y como se ve en ejemplo:

 

 

 

 

 

 

Como se ve, en cada columna se tiene una variable distinta.

A continuación, se aplica el método de Gauss, para ello hay que introducir el concepto de matriz. No se ahondará en ello, simplemente se tratará las matrices como "sacos de números". Seguidamente se escribirá el sistema de ecuaciones en forma matricial, en la primera columna se colocan los coeficientes (número que multiplica a la variable) de la primera variable, en la segunda los de la segunda, en la tercera los de la tercera y en la cuarta se escribirá el término independiente (el término de la derecha en las igualdades del sistema de ecuaciones):

 

 

 

 

 

Seguidamente, hay que llevar a cabo una serie de transformaciones para modificar la matriz de modo que en las posiciones señaladas en rojo se "creen" ceros:

 

 

 

 

 

Las transformaciones a las que se someterá la matriz son las que se describen a continuación:

• Es posible multiplicar o dividir una todos los elementos de una misma fila por el número deseado.

• Es posible sumar o restar una fila a otra para obtener una nueva

En este caso, se transformarán las filas 2 y 3 de la siguiente manera: a la segunda fila se le resta la primera fila multiplicada por 2 y a la tercera fila se le resta la primera fila:

 

 

 

 

 

 

Así, de la matriz incial se ha pasado a la matriz que aquí se muestra:

 

 

 

 

 

Finalmente, a la tercera fila se le resta la segunda:

 

 

 

 

 

De este modo, se obtiene la siguiente matriz:

 

 

 

 

 

Ya se han creado los ceros que se buscaban al principio. Al igual que al principio se escribió de forma matrcial el sistema de ecuaciones, ahora se realiza el proceso inverso y se pasa de la matriz final al sistema de ecuaciones. Este sistema de ecuaciones es equivalente al inicial, es decir, las soluciones son las mismas:

 

 

 

 

 

 

Este sistema es mucho más sencillo de resolver.

Evidentemente                          , así que sustituyendo sucesivamente de abajo arriba se obtiene:

 

 

 

 

 

En resumen, la consigna es siempre la misma, "crear" ceros en los puntos adecuados para simplificar el sistema de ecuaciones.

 

Próximamente se anadirán más ejemplos resueltos.